Контрольная работа по высшей математике

Задание 1. Матричная алгебра
Решите систему уравнений методом Крамера:
{■(4x-3y+2z=9,@2x+5y-3z=4,@5x+6y-2z=18.)┤
Решение:
Запишем систему уравнений в матричном виде:
{■(4x-3y+2z=9,@2x+5y-3z=4,@5x+6y-2z=18.)┤~(■(4&-3&2@2&5&-3@5&6&-2))∙(■(x@y@z))=(■(9@4@18)),
A=(■(4&-3&2@2&5&-3@5&6&-2)),B=(■(9@4@18)),X=(■(x@y@z)).
Найдем определитель матрицы A:
∆=|A|=|■(4&-3&2@2&5&-3@5&6&-2)|=4·5·(-2) + (-3)·(-3)·5 + 2·2·6 -
-2·5·5 - 4·(-3)·6 - (-3)·2·(-2) =
= -40 + 45 + 24 - 50 + 72 - 12 = 39
Найдём определители матриц, полученных из матрицы A заменой i-го столбца на столбец B правых частей (i=1,2,3):
∆_X=|■(9&-3&2@4&5&-3@18&6&-2)|=78

∆_y=|■(4&9&2@2&4&-3@5&18&-2)|=117

∆_z=|■(4&-3&9@2&5&4@5&6&18)|=195

Подставим полученные значения в формулы Крамера и найдём решение системы:
x=∆_X/∆=78/39=2

y=∆_y/∆=117/39=3

z=∆_z/∆=195/39=5
Ответ: x=2,y=3,z=5.

Задание 2. Аналитическая геометрия
По заданным точкам A, B, C и D составить уравнение прямой и плоскости BCD, вычислить угол между ними и найти расстояние от точки до плоскости BCD.
A (0, 0, 0), B (-2, 0, 0), C (0, 2, 0), D (1, 2, 1)
Решение: Уравнение прямой, проходящей через две точки (xi, yi, zi), i=1,2 имеет вид:

................................