Нахождение корней нелинейного уравнения в Delphi

Номер в архиве: 1017
Пояснительная записка и программа с исходниками прилагается

---

Оглавление

Введение    2
1. Постановка задачи    4
Входные и выходные переменные    6
Алгоритм решения задачи    7
3.1 Уточнение корней методом деления отрезка пополам.    7
3.2. Уточнение корней методом касательных.    9
1.5. Уточнение корней методом хорд.    12
Блок схема    16
Описание хода работы    18
Тестовый пример    19
Заключение    20

Введение

Многие задачи математического моделирования, исследования различных объектов и явлений решаются с помощью аналитических математических моделей. Применение их для прогноза или расчета приводят к необходимости решения разнообразных нелинейных уравнений.
Цель данной работы – изучение численных методов приближенного решения нелинейных уравнений и их алгоритмическая реализация в среде Delphi.
Как правило, процесс решения нелинейного уравнения общего вида: f(х)=0 осуществляется в два этапа. На первом этапе отделяют корни, т. е. находят такие отрезки, внутри которых находится строго один корень. На втором этапе уточняют корень, т.е. находят его значение х* с предварительно заданной точностью e. В практических задачах решением называют любое значение x, отличающееся по модулю от точного значения х* не более чем на величину e.
Идеи аналитических методов первого этапа базируются на очевидном свойстве непрерывных функций: корни функции (точки пересечения f(х) с горизонтальной осью) обязательно лежат между соседними экстремумами функции (хотя обратное неверно: между каждой парой экстремумов необязательно находится корень).
Идеи методов второго этапа можно сгруппировать по трем основным направлениям. В первом – поиск корня с заданной погрешностью сводится к перебору всех возможных значений аргумента с проверкой наличия решения. Во втором – поиск корня нелинейной функции заменяется поиском корня той или иной более простой функции (линейной, параболической), близкой к исходной нелинейной; как правило, процесс поиска осуществляется итерационными процедурами (однотипными, последовательно повторяющимися). В третьем – нелинейное уравнение вида: f(x)=0 сводят к одной из форм вида: g(х) = j(х) и стремятся обеспечить равенство левой и правой частей тоже, как правило, с помощью итерационных процедур.
Условием окончания процесса решения уравнения (т.е. получения корня x* с заданной погрешностью) может быть одно из двух возможных: 1) |f(х)|<=d, 2) |х*–хk|<=e, где d, e – предварительно заданные малые величины, k – номер итерации, т.е. или близость к нулю левой части уравнения, или близость друг к другу двух значений х, между которыми находится решение. Второе условие во многих случаях можно использовать, не зная точного значения корня, путем замены его другим, например: |хk+1–хk|<=e, при выполнении которого данное условие будет гарантированно выполняться. Условие окончания поиска выбирается исходя из неформальных соображений, и в некоторых случаях применение разных условий может привести к существенно разным результатам. При решении конкретных задач в математическом моделировании важными являются две цели решения:
1) обеспечение близости к нулю f(x) (f(х)»0) как меры выполнения тех или иных балансовых соотношений, тогда не очень важно, при каких именно (в пределах здравого смысла конкретной прикладной задачи) значениях х это равенство справедливо с заданной погрешностью;
2) обеспечение точности нахождения решения х*, имеющего содержательное значение, при этом f(х)»0 является лишь индикатором правильности решения. Отсюда и выбирают условие окончания поиска решения.
Итак, в данной работе, происходит анализ существующих методов и подходов к численному решению нелинейных уравнений и описывается программная реализация в среде Delphi.