Численное решение нелинейных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение задачи среднеквадратичной аппроксимации

Номер в архиве: 579
Подробное решение с исходниками Matlab прилагается

---

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
студентам в рамках настоящей работы предлагается решить 3 задачи:
1.    Численное решение нелинейных уравнений
2.    Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
3.    Решение задачи среднеквадратичной аппроксимации.
При выполнении работы студентам необходимо: ознакомиться с теоретическими сведениями для решения задачи по предлагаемым, либо другим доступным источникам, четко сформулировать задачу в соответствии с вариантом, выполнить задание, оформить отчет в соответствии с требованиями, изложенными в настоящих методических указаниях.

ЗАДАЧА 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель: Выработать навыки численного решения нелинейных уравнений.
Теоретическое введение
Мэтьюз Д., Финк К. Численные методы. Использование Matlab. Стр. 54-85
Боборыкин Н.Д., Смертин В.М. и др. Информатика и математическое моделирование функциональных систем. Стр.59-61
Порядок выполнения работы
1.    Разработайте функцию, реализующую итерационный метод решения уравнения (метод простой итерации и метод дихотомии(бисекций)).
2.    Выполните отделение корня уравнения (графически или аналитически).
3.    Решите уравнения, оценив сходимость метода.
4.    Снабдить отчет по работе графической интерпретацией методов.
Требования к отчету
1.    Теоретическое введение: этапы численного решения нелинейных уравнений, метод дихотомии, метод простой итерации, сходимость метода простой итерации, критерии сходимости.
2.    Задание с указание варианта
3.    Результаты: блок-схемы алгоритмов, коды программ, результаты решения уравнений, графики, схемы.

ЗАДАЧА 2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДУ

Цель: Выработать навыки численного решения ОДУ.
Теоретическое введение
Мэтьюз Д., Финк К. Численные методы. Использование Matlab.
Боборыкин Н.Д., Смертин В.М. и др. Информатика и математическое моделирование функциональных систем.
Порядок выполнения работы
1.    Разработайте функцию, реализующую метод Эйлера и метод Рунге-Кутта 4 порядка на отрезке   шагом  ...
2.    Решить уравнения символьно, используя средства пакета аналитических вычислений MathCad или Matlab.
3.    Решить численно уравнения в соответствии с вариантом. 
4.    Постройте графики аналитического и численных решений.
5.    Сформируйте отчет.
Требования к отчету
1.    Теоретическое введение: понятие численного решения ОДУ, метод Эйлера, метод Рунге-Кутта
2.    Задание в соответствии с вариантом.
3.    Результаты: коды программ, блок-схемы алгоритмов, графики, таблицы.

ЗАДАЧА 3. ВЫБОРОЧНАЯ РЕГРЕССИЯ

Цель: Выработать навыки статистической обработки экспериментальных данных.
Теоретическое введение
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Стр. 249-282
Порядок выполнения работы
1.    Разработайте функцию, вычисляющую коэффициенты уравнения линейной регрессии по данным вашего варианта.
2.    Постройте корреляционное поле и линию линейной регрессии. Вычислите выборочный коэффициент корреляции. 
3.    Разработайте функцию, вычисляющую коэффициенты уравнения квадратичной регрессии по данным вашего варианта.
4.    Постройте корреляционное поле и линию квадратичной регрессии. Оцените адекватность полученной модели.
5.    Сформируйте отчет.
Требования к отчету
1.    Теоретическое введение: понятие статистической зависимости, условные средние, корреляционные зависимости, вывод параметров линейной регрессии, выборочный коэффициент корреляции, свойства выборочного коэффициента корреляции, вывод параметров квадратичной регрессии.
2.    Задание в соответствии с вариантом.
3.    Результаты: коды программ, блок-схемы алгоритмов, графики, таблицы.
HELP
•    Задание формируется путем выборки двух столбцов из таблиц «Значение Y», «Значение X», пара значений из таблицы – наблюдаемая пара значений измеряемой величины.
•    На рисунке показан пример результата к задаче 4 (аналогично для задачи 2)